Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

ЗАДАЧА 16

Постановка задачи: Вычислить предел , где ,

План решения:

1. Чтобы воспользоваться планом решения задачи 16 нужно, чтобы аргумент стремится к нулю. Введем новую переменную , и будем искать предел при

2. Воспользуемся схемой задачи 16

Пример: Вычислить предел

Решение:

При   выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности.

1. Введем новую переменную

Преобразуем выражение под знаком предела к виду

2. Поскольку показательная функция  непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

Заменяя бесконечно малые величины эквивалентными

Имеем

Ответ:

Практикум по решению задач

Пределы

Примеры решения заданий

1. Доказать, что  (указать ), где .

Решение. По определению число  называется пределом числовой последовательности , если , такой, что  выполняется неравенство

Выберем произвольное число . Тогда

  и неравенство  будет выполнено в точности тогда, когда , т.е. , откуда . Положив , получим, что для всех  справедливо неравенство . В соответствии с определением предела это и означает, что .

2. Вычислить предел числовой последовательности: .

Решение. В таких примерах делят числитель и знаменатель на старшую степень n. В числителе она 2, а в знаменателе 1. Поэтому числитель и знаменатель разделим на . В результате получим

Ответ:

3. Вычислить предел: .

Решение. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень n, т.е. на . Тогда . Поэтому

 .

Ответ:  .

4. Вычислить предел: .

Решение. В этом примере получаем неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему и воспользуемся формулой разности квадратов.

Поэтому .

Ответ:

5. Вычислить предел: .

Решение. .

Числитель дроби, стоящей под знаком предела, является арифметической прогрессией, сумма которой равна . Поэтому

.

Ответ: .

6. Вычислить предел: .

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида .

.

Ответ: .

7. Доказать (найти ), что: .

Решение. Зафиксируем произвольное >0. Требуется по этому  найти такое >0, чтобы из условия  вытекало бы неравенство . То есть

 

Отсюда получим, что если , то . То есть в качестве  можно взять . Поэтому .

8. Доказать, что функция  непрерывна в точке  (найти ): .

Решение. Покажем, что при любом  найдется такое , что  при .

. Покажем, как для произвольного положительного действительного числа , найти такое положительное число , что , если .

Так как  и нас интересует поведение функции в окрестности точки , то, не нарушая общности, будем считать, что рассматриваются только точки х такие, что . Тогда , а . Поэтому, для рассматриваемых х справедливы соотношения

.

Но, если  (то есть ), то и . Пусть . Тогда, если , то . Значит функция  непрерывна в точке

9. Вычислить предел функции: .

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . "Раскроем" эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель  (сокращать на  можно, потому что при нахождении предела мы считаем, что  ):

.

В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при , поэтому можно применять теорему о пределе частного:

.  Ответ:


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]