Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥;–1) È (–1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = –; x = ; x = –1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < –, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

< x < –1, y¢¢ < 0,  кривая выпуклая;

–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

   < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

¥ < x < –, y¢ > 0, функция возрастает

< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

  < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно –3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Найти предел .

; ;

; ;

 

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычиления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

9. Найти предел .

 — опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;  — применяем правило Лопиталя еще раз.

;

Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

10. Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

11. Найти предел .

— получили неопределенность. Применяем правило еще раз. ;


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]