Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Практикум по решению задач

1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем)   Следовательно, область определения множество точек   .Область определения изображена на рис. 1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

 

Область определения получается пересечением множеств:  - множество точек «под» параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку .

Итак,   (рис. 2).

2. Вычислить пределы:а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой  y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных «k» и не существует числа A, к которому значения  становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®span style='font-family:Symbol'>¥span style='font-family:Symbol'>½=½применим правило Лопиталя два раза½=

 – предел существует и равен нулю.

3. Найти точки разрыва функций: а)  б)

Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва  функции образуют поверхность – конус.

4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.

5. Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Ñ По формуле (5.1)   =.

 Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно .

6. Найти дифференциал функции .

Первый способ. По формуле (5.4): ,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

.

7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем   .

9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:  . Тогда по формуле (6.1):  + получаем = + .

10. Найти  и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .

11. Найти , если , где , .

- сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

,

,

.

12. Найти , если .

 и по формуле (6.4) получаем  =. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка  принадлежит графику функции, т.е. . Поэтому .

13. Найти , если .

ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:, .

14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

Находим  . Следовательно,  .


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]