Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.

Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой  и полуконусом . Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам:  , при этом . Неравенства, описывающие V, преобразуются:

а)

б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть  (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле =

½повторный интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов½=.

13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy  — круг радиуса R изображены на рис. 17 и 18. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам  по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются:

а) , б) , в) z=a . Так как нет ограничений на координату , то  (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть  .

Тогда по формуле = = == = ==

14. Найти массу пластинки  с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому   и при .

15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12, , и потому .

16. Найти объем тела  ; , .

Ñ Из формулы  . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис. 19).

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам  по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются: 1); 2) ;

3)  или ;

4) ;

5) ; 6) .

 


Область изменения сферических координат точек области V есть .

Тогда =

=

.


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]