Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Решение типового варианта контрольной работы

Задача №2.

Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , ,  имеет вид:

  (3.7)

Тогда уравнение плоскости  в силу уравнения (3.7) имеет вид  или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .

2) Найти нормальный вектор плоскости .

Решение.

Нормальный вектор  - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .

Рис. 3

Для плоскости  нормальным является вектор =.

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами   будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.

3) Найти косинус угла между плоскостями  и .

Решение.

Угол   между двумя плоскостями  и  представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для плоскости  - равенствами , , . Следовательно, =.

4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  параллельно плоскости : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

  (3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .

Условие параллельности плоскостей  и  имеет вид

  (3.9)

Так как плоскости  и  параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

5) Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Решение.

Расстояние  от точки  до плоскости  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

  (3.10)

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Следовательно, .

6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки  и  имеют вид

  (3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения  или .

7) Найти направляющий вектор прямой .

Решение.

Направляющий вектор  - это вектор, параллельный прямой.

Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор  имеет координаты .

Рис. 4

Для рассматриваемой прямой  направляющим вектором является вектор .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору  так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами  будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.

8) Найти косинус угла между прямыми  и .

Решение.

Угол   между двумя прямыми  и  представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством

Для прямой  координаты направляющего вектора  определяются равенствами , , . Для прямой  - равенствами , , . Значит, .

9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь  - координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой  подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых  и  имеет вид

  (3.12)

Так как прямые  и  параллельны, то в качестве направляющего вектора   прямой  можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид .

10) Найти угол между прямой :  и плоскостью : .

Решение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол  между прямой и плоскостью равен , где  - угол между направляющим вектором  прямой и нормальным вектором  плоскости.

Рис. 5

Угол   между прямой  и плоскостью  определяется формулой

 

Для плоскости :  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для прямой :  координаты направляющего вектора  - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен =. Следовательно, .

11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .

Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .

Условие перпендикулярности плоскости  и прямой  имеет вид

  (3.13)

Так как искомая плоскость  перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора  плоскости можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение   можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой  и плоскости  имеет вид .

Так как прямая  перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид: .

13) Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости : .

Решение.

Координаты точки  пересечения прямой  и плоскости  представляют собой решение системы

  (3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]