Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Решение типового варианта контрольной работы

Задача №2.

Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , ,  имеет вид:

  (3.7)

Тогда уравнение плоскости  в силу уравнения (3.7) имеет вид  или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .

2) Найти нормальный вектор плоскости .

Решение.

Нормальный вектор  - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .

Рис. 3

Для плоскости  нормальным является вектор =.

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами   будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.

3) Найти косинус угла между плоскостями  и .

Решение.

Угол   между двумя плоскостями  и  представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для плоскости  - равенствами , , . Следовательно, =.

4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  параллельно плоскости : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

  (3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .

Условие параллельности плоскостей  и  имеет вид

  (3.9)

Так как плоскости  и  параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

5) Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Решение.

Расстояние  от точки  до плоскости  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

  (3.10)

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Следовательно, .

6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки  и  имеют вид

  (3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения  или .

7) Найти направляющий вектор прямой .

Решение.

Направляющий вектор  - это вектор, параллельный прямой.

Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор  имеет координаты .

Рис. 4

Для рассматриваемой прямой  направляющим вектором является вектор .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору  так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами  будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.

8) Найти косинус угла между прямыми  и .

Решение.

Угол   между двумя прямыми  и  представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством

Для прямой  координаты направляющего вектора  определяются равенствами , , . Для прямой  - равенствами , , . Значит, .

9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь  - координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой  подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых  и  имеет вид

  (3.12)

Так как прямые  и  параллельны, то в качестве направляющего вектора   прямой  можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид .

10) Найти угол между прямой :  и плоскостью : .

Решение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол  между прямой и плоскостью равен , где  - угол между направляющим вектором  прямой и нормальным вектором  плоскости.

Рис. 5

Угол   между прямой  и плоскостью  определяется формулой

 

Для плоскости :  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для прямой :  координаты направляющего вектора  - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен =. Следовательно, .

11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .

Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .

Условие перпендикулярности плоскости  и прямой  имеет вид

  (3.13)

Так как искомая плоскость  перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора  плоскости можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение   можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой  и плоскости  имеет вид .

Так как прямая  перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид: .

13) Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости : .

Решение.

Координаты точки  пересечения прямой  и плоскости  представляют собой решение системы

  (3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]