УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5
Все задачи решаются по одной схеме. Пусть дана функция
.
1. Находим область определения
.
2. Находим точки разрыва функции. Определим характер разрыва, уточнив поведение функции в окрестности точки разрыва
. Для этого найдем
. Если
- точка разрыва второго рода, то прямая
будет вертикальной асимптотой графика функции.
3. Находим точки пересечения графика с осями координат, для чего решаем системы уравнений:
.
4. Проверяем условия четности функции:
и нечетности
. Если функция четная (или нечетная), то все последующие исследования проводим при
.
5. Аналогично: если
- периодическая функция с периодом Т, то исследование проводим при
.
6. Находим первую и вторую производные
. Эту работу надо
выполнять очень аккуратно, иначе график будет построен неверно.
7. Находим экстремумы и промежутки монотонности функции.
8. Находим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
9. Находим наклонные асимптоты
, где
;
. Каждый из случаев:
надо рассмотреть отдельно (асимптоты могут быть различными).
10. По результатам исследования составляем сводную таблицу и строим график функции.
11. По графику функции
строим графики ее первой и второй производных.
Замечание 1. Построение графика функции
рекомендуется проводить параллельно с исследованием.
Замечание 2. Если полученной в результате исследований информации недостаточно для построения графика функции, можно построить несколько точек графика, придавая аргументу х допустимые значения.
Пример 1. Исследовать функцию
и построить ее график (рис.4).
Решение. 1.
.
2. Функция терпит разрыв второго рода в точках
, так как
,
и
,
. Следовательно,
- уравнения вертикальных асимптот. Строим эти асимптоты.
3. Находим точки пересечения графика с осью ОХ, для чего решаем систему уравнений
. Кривая пересекает ось ОХ в точках
и
.
Замечание. Если решение уравнения
вызывает большие затруднения, то этого можно не делать. Для построения графика нужно выбрать несколько дополнительных точек.
Аналогично
. Получаем точку
.
4.
. Функция четная, поэтому исследуем ее поведение в области
.
5. Функция непериодическая.
6. Находим производные функции
.
7. Находим экстремумы функции. Для этого найдем сначала критические точки. Из уравнения
следует, что
. Так как вторая производная известна, то характер экстремума определяем по второму правилу.
, поэтому при
функция имеет максимум, равный
. Итак, точка
- точка максимума.
не существует при
, но
. На
функция убывает, на
функция убывает.
8. Находим точки перегиба графика из уравнения
, у нас
, следовательно, кривая не имеет точек перегиба. В промежутке
, следовательно, кривая выпуклая. В промежутке
, поэтому кривая вогнута.
9. Находим уравнение
наклонной асимптоты.
;
. Итак,
- горизонтальная асимптота кривой.
10. В свободную таблицу вносят точки, полученные при исследовании функции в порядке возрастания аргумента х, а также дополнительные точки, если полученных недостаточно для построения графика функции:
х
0
1
2
3
4
у
0
Примечание
Точка макси-мума, точка
пересечения
с ОУ
Точка пересе-
чения с ОХ
Точка разрыва
Дополнительные точки
Строим график функции в промежутке
. Так как функция четная, то в про-межутке
ее график строим по симметрии относительно оси ОУ (см. рис.4).
Ряды и интеграл Фурье http://rus-kon.ru/
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive] |