Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5
Все задачи решаются по одной схеме. Пусть дана функция .
1. Находим область определения .
2. Находим точки разрыва функции. Определим характер разрыва, уточнив поведение функции в окрестности точки разрыва . Для этого найдем . Если  - точка разрыва второго рода, то прямая будет вертикальной асимптотой графика функции.
3. Находим точки пересечения графика с осями координат, для чего решаем системы уравнений: .
4. Проверяем условия четности функции:  и нечетности
. Если функция четная (или нечетная), то все последующие исследования проводим при .
5. Аналогично: если - периодическая функция с периодом Т, то исследование проводим при .
6. Находим первую и вторую производные . Эту работу надо
выполнять очень аккуратно, иначе график будет построен неверно.
7. Находим экстремумы и промежутки монотонности функции.
8. Находим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
9. Находим наклонные асимптоты , где ; . Каждый из случаев: надо рассмотреть отдельно (асимптоты могут быть различными).
10. По результатам исследования составляем сводную таблицу и строим график функции.
11. По графику функции строим графики ее первой и второй производных.
Замечание 1. Построение графика функции рекомендуется проводить параллельно с исследованием.
Замечание 2. Если полученной в результате исследований информации недостаточно для построения графика функции, можно построить несколько точек графика, придавая аргументу х допустимые значения.
Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график (рис.4).
Решение. 1. .
2. Функция терпит разрыв второго рода в точках , так как ,  и , . Следовательно, - уравнения вертикальных асимптот. Строим эти асимптоты.
3. Находим точки пересечения графика с осью ОХ, для чего решаем систему уравнений . Кривая пересекает ось ОХ в точках и .
Замечание. Если решение уравнения вызывает большие затруднения, то этого можно не делать. Для построения графика нужно выбрать несколько дополнительных точек.
Аналогично . Получаем точку .
4. . Функция четная, поэтому исследуем ее поведение в области .
5. Функция непериодическая.
6. Находим производные функции .
7. Находим экстремумы функции. Для этого найдем сначала критические точки. Из уравнения следует, что . Так как вторая производная известна, то характер экстремума определяем по второму правилу. , поэтому при функция имеет максимум, равный . Итак, точка - точка максимума. не существует при , но . На  функция убывает, на функция убывает.
8. Находим точки перегиба графика из уравнения , у нас , следовательно, кривая не имеет точек перегиба. В промежутке , следовательно, кривая выпуклая. В промежутке , поэтому кривая вогнута.
9. Находим уравнение наклонной асимптоты.
;
. Итак, - горизонтальная асимптота кривой.
10. В свободную таблицу вносят точки, полученные при исследовании функции в порядке возрастания аргумента х, а также дополнительные точки, если полученных недостаточно для построения графика функции:

х

0

1

2

3

4

у

0

Примечание

Точка макси-мума, точка
пересечения
с ОУ

Точка пересе-
чения с ОХ

Точка разрыва

Дополнительные точки

Строим график функции в промежутке . Так как функция четная, то в про-межутке ее график строим по симметрии относительно оси ОУ (см. рис.4).

Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]