УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5
Все задачи решаются по
одной схеме. Пусть дана функция 
.
1. Находим область определения 
.
2. Находим точки разрыва функции. Определим
характер разрыва, уточнив поведение функции в окрестности точки разрыва 
. Для этого найдем 
. Если - точка разрыва второго рода, то прямая будет вертикальной асимптотой графика
функции.
3. Находим точки пересечения графика с осями координат, для чего
решаем системы уравнений: 
.
4. Проверяем условия четности функции: 
и нечетности
.
Если функция четная (или нечетная), то все последующие исследования проводим при
.
5. Аналогично: если
- периодическая функция с периодом Т, то исследование
проводим при 
.
6. Находим
первую и вторую производные 
. Эту работу надо
выполнять очень аккуратно, иначе график будет построен неверно.
7. Находим экстремумы и промежутки монотонности функции.
8. Находим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
9. Находим наклонные асимптоты
, где 
; 
. Каждый из случаев: 
надо рассмотреть отдельно (асимптоты могут быть различными).
10. По результатам исследования составляем сводную таблицу и строим график функции.
11. По графику функции строим графики ее первой и второй производных.
Замечание 1. Построение графика функции рекомендуется проводить параллельно с исследованием.
Замечание 2. Если полученной в результате исследований информации недостаточно для построения графика функции, можно построить несколько точек графика, придавая аргументу х допустимые значения.
Пример 1. Исследовать функцию 
и построить ее график (рис.4).
Решение. 1. 
.
2. Функция терпит разрыв второго рода в точках
, так как 
, 
и 
, 
. Следовательно, 
- уравнения вертикальных асимптот. Строим эти асимптоты.
3. Находим точки пересечения графика с осью ОХ, для чего решаем систему уравнений
. Кривая пересекает ось ОХ в точках 
и 
.
Замечание. Если решение уравнения 
вызывает большие затруднения, то этого можно
не делать. Для построения графика нужно выбрать несколько дополнительных точек.
Аналогично 
. Получаем точку 
.
4. 
. Функция четная, поэтому исследуем ее поведение в области
.
5. Функция непериодическая.
6. Находим производные функции 
.
7. Находим экстремумы функции. Для
этого найдем сначала критические точки. Из уравнения 
следует, что 
. Так как вторая производная известна, то характер экстремума
определяем по второму правилу. 
, поэтому при функция имеет максимум, равный 
. Итак, точка 
- точка максимума. 
не существует при 
, но 
. На 
функция убывает, на 
функция убывает.
8. Находим точки перегиба графика
из уравнения 
, у нас 
, следовательно, кривая не имеет точек перегиба.
В промежутке 
, следовательно, кривая выпуклая. В промежутке 
, поэтому кривая вогнута.
9. Находим уравнение наклонной асимптоты.
; 
. Итак, 
- горизонтальная асимптота
кривой.
10. В свободную таблицу вносят точки, полученные при исследовании функции в порядке возрастания аргумента х, а также дополнительные точки, если полученных недостаточно для построения графика функции:
| х | 0 | 1 |
| |
| 2 | 3 | 4 |
| у | | 0 | | | | | | |
| Примечание | Точка макси-мума, точка пересечения с ОУ | Точка пересе- чения с ОХ | Точка разрыва |
Дополнительные точки | ||||
Строим график функции в промежутке 
. Так как функция четная, то в про-межутке 
ее график строим по симметрии относительно
оси ОУ (см. рис.4).