Тяжелый атомный ракетный крейсер «Киров»
Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Исследование функции с использованием производной первого порядка.

Находим:

.

С помощью производной первого порядка найдем:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) локальные экстремумы (max, min).

1) для этого решаем уравнение

Можно решить это уравнение, не находя , а следующим образом:

.

Значит

.

Следует помнить, что точку разрыва производной  надо учитывать, она не является критической точкой данной функции, но на количество промежутков может повлиять.

Составим таблицу следующего вида:

x

(-∞; 1,2)

1,2

(1,2; 2)

(2; 2,8)

2,8

(2,8; ∞)

+

0

0

+

y

возрастает

-6,9

убывает

убывает

2,9

возрастает

max

min

x

(-∞ ; 2)

(2 ; ∞)

+

y

выпуклая

вогнутая

Вычислим:

III. Исследование функции с использованием производной второго порядка.

.

С помощью второй производной найдем:

1) промежутки выпуклости и вогнутости графика;

2) точки перегиба графика функции.

1) , т.к. дробь .

Точка   – точка разрыва второй производной, ее надо учитывать.

В таблицу по аналогии с  вносим требуемые значения, для определения знаков второй производной на промежутках, подставляем в нее числа из промежутков (по аналогии со знаками  на ее промежутках).

Для построения графика функции лучше совместить таблицу с таблицей выше составленной для . На этом исследование функции закончено, остается построить график функции.

IV. Эскиз графика по полученным данным.

Используя все данные из (I) и из таблицы строим график данной функции.

В точке ,  изменила свой знак, т.е. выпуклая часть графика перешла в вогнутую, но  не является точкой перегиба, т.к. функция  в этой точке не существует: имеет бесконечный разрыв.


Тяжелый атомный ракетный крейсер «Киров»
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]