Ядерные двигатели для транспорта Атомный флот
Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Задание 7.

7.

Решение:

I. 1) Находим частные производные первого порядка:, .

2) Необходимые условия существования экстремума:

     

а)   О (0;0) б)    М1 (1;).

Получим 2 критические точки, но необходимые условия могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

II. Далее исследуем критические токи О (0; 0), М1 (1;).

Для этого находим производные второго порядка.

и в каждой точке определяем знак определителя

В точке О (0; 0):

.

Согласно достаточному условию, если , то в О (0; 0) экстремума нет.

В точке М1 (1;):

.

т.е.  .

Согласно достаточному условию экстремума  функция z (x, y) в исследуемой точке M1 имеет минимум.

III. Вычислим значение данной функции  в точке

М1 (1;).

.

Ответ: .

Задание 8.

8. .

Решение:

1) Сначала сделаем чертеж замкнутой области D, построив прямую затем,  – это ось Oy,  – это ось Ox.

Получили DOAB.

2) Теперь исследуем функцию z (x; y) на экстремум внутри DOAB:

а)

б)

  ,

т.к. внутри DOAB , , то в системе уравнений можно сократить на x и y, тогда имеем:

.

Точка Po (1; ) лежит внутри DOAB. Вычислим значение данной функции в стационарной точке Po (1; ):

,

.

3) Далее найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции   на границах области D.

  – на этой границе значение функции равно 0.

  – на этой границе .

  – это уравнение связывает 2 переменные.

Найдем одну из них, например, , на этой прямой , а данная функция может быть выражена через одну переменную x, т.е. подставим  в функцию , получим:

.

Согласно правилу, указанному для функции одной переменной поступаем так:

а) находим стационарные точки внутри [0; 6], для этого находим , решаем уравнение :

 

  – граничная точка, как было сказано .

При , , т.е. P (4; 2) на границе AB.

б) Вычислим .

4) Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции  в области D: (в виде DOAB) надо искать среди следующих ее значений:

внутри DOAB: ;

на границах  (в том числе и в вершинах) ; на границе .

Из полученных значений функции  видим, что наибольшее значение  функция принимает в точке Po (1; ), а наименьшее  на границе AB в точке P (4, 2).

Ответ: .


Ядерные двигатели для транспорта Атомный флот
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]