Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Решение типового варианта контрольной работы.

Вычислить пределы функций.

а) Найти .

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции  и  являются бесконечно большими. Поэтому, ,.

Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

 Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе  в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Ответ. 0.

б) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Ответ. -9.

 Найти .

Решение. Для вычисления данного предела подставим значение  в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,

.

Ответ. -3.

в) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

 

Ответ. .

г) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:

Ответ. k

д) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно произведение преобразовать в частное, то есть неопределенность  свести к неопределенности  или .

 

  Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель и знаменатель на . Получаем,

.

Ответ. .

е) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:.

Ответ. .

ж) Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: .

Ответ. .

 Найти

Решение. Подставим значение  в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,

Ответ. .


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]