Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Задана функция  и два значения аргумента .

Требуется:

найти пределы функции при приближении к каждому из данных значений   слева и справа;

установить является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ;

сделать схематический чертеж.

Решение. Найдем левый и правый пределы в точке .

Левый предел конечен и равен 0, а правый предел бесконечен. Следовательно, по определению  точка разрыва второго рода.

Найдем левый и правый пределы в точке .

, т.е.  точка непрерывности функции .

Сделаем схематический чертеж.

Сав1

Рис. 1

3. Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.

Требуется:

найти точки разрыва функции, если они существуют;

найти скачок функции в каждой точке разрыва;

сделать схематический чертеж.

Решение. Функция  непрерывна для , функция  непрерывна в каждой точке из , функция  непрерывна в каждой точке интервала .

 Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки   и , где функция меняет свое аналитическое выражение.

  Исследуем точку .

, , . Таким образом, точка  есть точка непрерывности функции .

Исследуем точку .

, , . Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва  равен .

 Сделаем схематический чертеж

Сав2

Рис. 2


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]