Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Исследование функций

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке

Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует):

  при  и 

Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка

Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при , , а наименьшее значение равно -18 при ,

Пример 2.

Исследовать функцию   и построить ее график.

Решение.

Общая схема исследования функций:

Найти область определения функции.

Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Найти наклонные асимптоты графика функции.

Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

 Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит  точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция   называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

Область определения симметрична относительно начала координат

 

Если  четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

  Найдем промежутки знакопостоянства функции

 

5. Найдем наклонные асимптоты  где

  

Для  k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция  может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если  меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если   меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если  не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная  обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

-2

1

7

+

0

+

не существует

-

0

+

0

не существует

возрастает

возрастает

убывает

min

возрастает

Функция возрастает на интервалах ,  и убывает на интервале . Точка  есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

 Напомним, что график функции  называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции  называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

  Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

 Перегиб возможен в точках, в которых  равна нулю или не существует. Если  на интервале , то график функции является выпуклым  на этом интервале, если же , то на интервале  график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

-2

1

-

0

+

не существует

+

0

не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]