Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Исследование функций

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке

Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует):

  при  и 

Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка

Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при , , а наименьшее значение равно -18 при ,

Пример 2.

Исследовать функцию   и построить ее график.

Решение.

Общая схема исследования функций:

Найти область определения функции.

Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Найти наклонные асимптоты графика функции.

Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

 Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит  точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция   называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

Область определения симметрична относительно начала координат

 

Если  четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

  Найдем промежутки знакопостоянства функции

 

5. Найдем наклонные асимптоты  где

  

Для  k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция  может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если  меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если   меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если  не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная  обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

-2

1

7

+

0

+

не существует

-

0

+

0

не существует

возрастает

возрастает

убывает

min

возрастает

Функция возрастает на интервалах ,  и убывает на интервале . Точка  есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

 Напомним, что график функции  называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции  называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

  Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

 Перегиб возможен в точках, в которых  равна нулю или не существует. Если  на интервале , то график функции является выпуклым  на этом интервале, если же , то на интервале  график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

-2

1

-

0

+

не существует

+

0

не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]