Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Задача 8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:

 .

Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.

Преобразуем 

Преобразуем 

Изобразим область интегрирования:

 Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат  примет вид т.е. .

D ограничена также лучами  Поэтому требуемый интеграл Iв полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на  подынтегральной функции внутреннего интеграла по , учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по , и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по  и внешним по   расставляются аналогично расстановке по у и х в случае декартовых координат. 

  Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:

.

Задача 8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

 Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых координатах формулой

 

а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху – поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:

 

 

 Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2).  Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела  V на плоскость XOY, имеющая вид:

  Линия входа в эту область y=0, линия выхода .  Проекцией области D на ось OX служит отрезок . Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел , а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного  интеграла следующим образом:

=

.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]