Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Задача 8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:

 .

Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.

Преобразуем 

Преобразуем 

Изобразим область интегрирования:

 Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат  примет вид т.е. .

D ограничена также лучами  Поэтому требуемый интеграл Iв полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на  подынтегральной функции внутреннего интеграла по , учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по , и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по  и внешним по   расставляются аналогично расстановке по у и х в случае декартовых координат. 

  Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:

.

Задача 8.4. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

 Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых координатах формулой

 

а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху – поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:

 

 

 Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2).  Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела  V на плоскость XOY, имеющая вид:

  Линия входа в эту область y=0, линия выхода .  Проекцией области D на ось OX служит отрезок . Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел , а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного  интеграла следующим образом:

=

.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]