Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах

 

 Задача 1. Вычислить , если область  ограничена линиями .

 Решение. Построим область интегрирования  (рис. 10). Найдем координаты точки А, решив совместно уравнения прямой  и гиперболы ,

А(1, 1). Область  (“треугольник” АВС) спроектируем на ось ОХ, в отрезок , проведем стрелку параллельно оси ОУ, которая “входит” в область  на линии  – это нижний предел интегрирования по у, а “выходит” из  на линии  – это верхний предел интегрирования по у.

 

 
 


 у

 у=х

 В

 

 1 А(1,1) 

 С ху=1

 0 1 2 х

  Рис. 10

Интегрирование начинаем с внутреннего интеграла по переменной у, поэтому х, как постоянную, выносим за знак этого интеграла.

.

  Ответ: .

 Задача 2. Вычислить интеграл  по области , ограниченной линиями  (ось ОХ).

 Решение. Построим область  (рис. 11). Видно, что координаты точки пересе-

 y

 D(0; 2)

 1 A(1,1) 

 

 B(2,0)

 0 C(1,0)  x

  

 Рис. 11

чения параболы  и прямой : А(1, 1) (Проверьте). Проектировать область треугольника ОАВ, как в предыдущей задаче, на ось ОХ нецелесообразно, т. к. по отношению к переменной у “верхняя граница” – ОАВ – “ломается” в точке А, состоит из двух линий ОА и АВ, поэтому не может быть описана одним уравнением, в таком случае  придется разби-

вать на части: ОАС и САВ, а данный интеграл вычислять как сумму двух интегралов по каждой из областей. Выгоднее изменить порядок интегрирования: внешний интеграл вычислить по у, спроектировав  на ось ОУ в отрезок , а внутренний – по х. Пределы интегрирования по х найдем с помощью стрелки, пересекающей  параллельно оси ОХ. “Входит” стрелка в   на параболе , или , а “выходит” стрелка на прямой , или . Таким образом,

.

  Ответ: .

 Замечание. Из решенных задач видно, что от выбора порядка интегрирования часто существенно зависит трудоемкость решения задачи двойного интегрирования. Подтверждение этому можно увидеть в следующих задачах.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]