Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

 Задача 3. Дан двойной интеграл:. Восстановить область интегрирования  и изменить порядок интегрирования.

  Решение. Наличие двух слагаемых в правой части равенства свидетельствует

 y

 4 С 

 

 

  

 В  D

 

1 А

 

0 1 2 х

  Рис. 12

о том, что  разбита на две области:  (свойство 3). Первое слагаемое – повторный интеграл по : ABD   и  – пределы интегрирования, второе – повторный интеграл по : BCD    – пределы интегрирования (рис. 12). Функция записывается после того, как будут записаны пределы интегрирования .

Оказывается, если изменить порядок интегрирования, то эту задачу можно решить, вычислив один двукратный интеграл.

 Задача 4. Дан двойной интеграл . Восстано-вить область интегрирования и изменить порядок интегрирования.

 Решение. Из пределов интегрирования в правой части равенства следует:

. Построим область , преобразовав предварительно уравнение

 (рис. 13).

Очевидно, это окружность, центр которой находится в точке С(r, 0), а радиус равен r. Изменим порядок интегрирования. Решим уравнение окруж-

ности относительно х:

 

 
 

 у

 y=x

 σ

 r

  0 r 2r x

 Рис. 13

.

  Знак “минус” у корня выбираем из расчета, что в области  переменная . Итак: .

 Замечание. Необходимо заметить, что пределы интегрирования в двукратном интеграле будут постоянными по х и у в том, и только в том, случае, если  - область интегрирования – прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. В общем же случае постоянны пределы только во внешнем интеграле: это интервал, в который спроектировалась  на ось, одноименную с внешней переменной, пределы интегрирования во внутреннем интеграле помогает определить стрелка, проходящая параллельно оси координат, одноименной с внутренней переменной.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

 Если граница области интегрирования   состоит из окружности и ее дуг, а подынтегральное выражение содержит выражение , то имеет смысл ввести полярную систему координат , полюс которой О совпадает с началом координат данной прямоугольной системы, а полярная ось  направлена по оси ОХ. Тогда связь между полярными и декартовыми координатами выражается следующими формулами: , , при этом , а . Поэтому переход от декартовых координат к полярным под знаком двойного интеграла осуществляется по формуле

.

Чтобы вычислить интеграл, полученный в правой части, его заменяют двукратным

(повторным интегралом) (рис. 14). Для этого спроектируем  в полюс О с помощью лучей ОА и ОВ, при этом   – угол наклона ОА к полярной оси, а  – угол наклона ОВ. Это пределы изменения полярного угла  в области : .

 
 у

 В n

 

 m A

  

 О х,

 Рис. 14

Точки касания А и В разбивают границу  на две дуги: “нижнюю” AmB: , на которой стрелка, проведенная из полюса О, “входит” в область , и “верхнюю” АnB: , на которой эта стрелка “выходит” из . Это пределы изменения полярного луча : .

 Таким образом, получаем .


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]