Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (3):

  

Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая переменную x константой:

.

После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х I(x)=2x+4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:

Пример 2. Вычислить интеграл , где .

Решение: Как и в примере 1, двойной интеграл сводится к повторному по формуле (3): 

При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла (см. п.1.1), выносим за знак интеграла:

В данном примере удобнее воспользоваться еще одним свойством двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x,y)=X(x)Y(y) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от x, а вторая - от y, и область интегрирования является прямоугольной , то двойной интеграл равен произведению повторных интегралов, т.е. . В этом случае результат вычисления внутреннего интеграла есть число. Поэтому решение задачи 2 кратко можно записать так:

Пример 3. Вычислить интеграл , где область D ограничена линиями x=0, y=0, x=π, y=1+cosx.

Решение: Область D является простой областью типа (I), так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рис.7). При любом фиксированном значении х из отрезка [0,π] координата y меняется от y=0 до y=1+cosx . Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1):

Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2), т.к. область D также является простой областью вида (II). Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х=х(у), что приводит к более громоздким вычислениям.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]