Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 4. Вычислить интеграл , если область D ограничена кривой x=2+siny и прямыми x=0, y=0, у=2π.

Решение: Область D является простой областью относительно оси Оу, т.е. областью вида (II). Левая ее граница x=0, а правая - x=2+siny (рис.8). При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x=0 до x=2+siny. Поэтому по формуле (2) имеем:

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Решение: Область D изображена на рис.9. Она является простой областью вида (I) и (II), поэтому для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле воспользуемся формулами (1) и (2).

Для применения формулы (1) область D проектируем на ось Oх и получим отрезок [0,1] – это пределы интегрирования во внешнем интеграле. Далее для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле при любом фиксированном   проводим координатные линии y=cоnst и по ним определяем, что нижняя граница области D y=0, а верхняя граница – прямая y=x. Таким образом получим:

.

Для применения формулы (2) область интегрирования D проектируем на ось y и получаем отрезок [0,1],а затем проводим координатные линии x=cоnst и определяем, что левая граница x=0, а правая граница - прямая x=y. Тогда двойной интеграл преобразуется к виду:

.

Пример 6. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x=0, x=1, y=1 и кривой

Решение: Построим область D, но вначале нужно понять, как нарисовать кривую . Приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого возведем обе части этого уравнения в квадрат, помня, что  и , т.е. . Получаем: . Теперь все слагаемые перенесем в левую часть и выделим полный квадрат по переменной х:  или . Таким образом, заданная кривая – это нижняя дуга () окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0). Область изображена на рис.10.

Область D является простой областью относительно оси Oх, она находится в полосе между прямыми x=0 и x=1. Ее нижней границей является дуга окружности , а верхней – прямая y=1. Следовательно, .

Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке проектируем область D на ось Oу и получаем отрезок [-1,1]. Из рис.10 видно, что область D ограничена слева дугой окружности (при ) и отрезком прямой x=0 (при ). Поэтому ее разбиваем на две простые области  и  координатной линией y=0. Левая граница области  находится из уравнения окружности : . Тогда область  определяется неравенствами: , . Область  есть прямоугольник , . Применяя формулу (2) и третье свойство двойного интеграла (см. п.1.1), получаем:

Пример 7. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x+у=10, x-у=4, y=0 и параболой .

Решение: Область D представлена на рис.11, из которого видно, что она не является простой ни в одном из направлений, поэтому ее необходимо разбить на простые области.

Проектируем D на ось Oх и получаем отрезок [0,7]. При этом нижней границей области D являются прямые y=0 при  и у=х-4 при , которые пересекаются в точке (4,0). Верхняя граница так же состоит из двух частей - кубической параболы  при и прямой у=10-х при , которые пересекаются в точке (2,8) . Через точки пересечения границ проводим координатные линии х=2 и х=4, которые разбивают D на три простые области ,,. В  при  нижняя граница y=0, а верхняя . В  при  нижняя граница y=0, а верхняя – прямая у=10-х. В   при  нижняя граница у=х-4, а верхняя - у=10-х. Расставляя пределы интегрирования для каждой из простых областей, получаем:

Для второго способа расстановки пределов интегрирования проектируем область D на ось Oу и разбиваем ее на две области. В первой области при   левая граница описывается выражением , а правая - х=у+4. Во второй области при  левая граница по-прежнему остается параболой , а правой границей является прямая х=10-у. В итоге получаем:

 

В качестве упражнения на расстановку пределов интегрирования рассмотрим задачу о перемене порядка интегрирования в повторном интеграле . Для ее решения необходимо построить область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми x=a, x=b и ограничена снизу линией, а сверху- линией. Затем область D проектируем на ось Oу и находим уравнения прямых y=c, y=d, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находят левую  и правую  границы области. Если какая-либо граница состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбиваем на части (простые области типа (II)). Аналогично поступают, если требуется переменить порядок интегрирования в повторном интеграле , только в этом случае область D проектируют на ось Oх.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]