Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Решение: Область D расположена между прямыми x=0 и x=1. Ее нижняя граница - прямая у=х, а верхняя - дуга окружности  (рис.12). Проектируем область D на ось Оу, в результате получаем отрезок . Левой границей области является прямая х=0, правой -  на участке [0,1] прямая х=у, а на участке  - дуга окружности

. Поэтому область D разбиваем на две области  и, а интеграл – на сумму двух интегралов:

Пример 9. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение: Для каждого из повторных интегралов построим свою область. Область  находится в полосе между прямыми y=-2 и y=0. Ее левой границей является прямая х=-1, а правой – прямая х=у+1. Область  находится в полосе между прямыми y=0 и y=π и имеет левую границу х=-1 и правую границу х=cosy. Сумма этих двух областей и есть искомая область D, она изображена на рис.13. Спроектируем ее на ось Ох, получим отрезок [-1,1]. Относительно оси Ох область D является простой, ее нижней границей является прямая у=х-1, а верхней – у=arccosх.

 Рис. 13

Повторный интеграл принимает вид:

1.3. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай).

Рассмотрим двойной интеграл  в декартовых прямоугольных координатах (х,у). Предположим, что переменные х и у являются функциями независимых переменных u и v, т.е. . Если эти функции непрерывно дифференцируемы и осуществляют взаимно-однозначное отображение ограниченной и замкнутой области D плоскости Оху на область Ω плоскости Оuv и якобиан

,

то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

  (4)

Координаты (u,v) называются криволинейными координатами точки (х,у). Цель замены переменных – упрощение вычисления двойного интеграла.

Замечание: Если замена осуществляется функциями , то величина

.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если область D – параллелограмм со сторонами у=2х-3, у=2х+5, у=-х+7, у=-х-1.

Решение: Параллелограмм изображен на рис.14а. Хотя подынтегральная функция и область интегрирования простые, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах Оху приводит к громоздким вычислениям.

Заметим, что уравнения прямых можно записать в виде: у-2х=3, у-2х=5, у+х=7, у+х=1. Перейдем к новым координатам с помощью замены , откуда находим . Вычисляем  и получаем .

В новой системе координат Ouv область Ω ограничена прямыми u=3, u=5, v=-1, v=7, т.е. представляет собой прямоугольник (рис.17б), а подынтегральная функция равна . Переходим к вычислению интеграла:


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]