Рассматривая различные авторские концепции дизайна
Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 4. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений  равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда  Поскольку  при  то  и по свойствам предела получаем 

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

  (3)

  (4)

  (5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при  и  соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель , где  и  и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .

Пример 5. Найти предел 

Решение. Имеем неопределённость.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

  Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что  при

 

Замечание. Сразу после (6) можно было записать, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе  и  равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть  и коэффициент при  равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

,  эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).

Пример 6. Найти предел 

Решение. Имеем неопределённость. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на   и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. Сразу после (7) можно было записать  (см. предыдущее замечание).


Рассматривая различные авторские концепции дизайна
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]