Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

Важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r,φ). Они связаны с прямоугольными координатами формулами:, . Якобиан преобразования в этом случае , а формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле имеет вид:

  (4)

Переходить к полярным координатам удобно в тех случаях, когда область интегрирования есть круг, кольцо или их часть, а так же в случае, когда подынтегральная функция имеет вид . В полярных координатах выражение . Границей круга является окружность  и ее уравнение в полярных координатах принимает вид: r=R. Тогда область D - круг  в полярной системе координат на плоскости Оrφ переходит в прямоугольную область Ω, которая задается неравенствами :  (рис.17а,б).

Интегрирование в полярных координатах проводится по координатным линиям r=const и φ=const. Линии r=const представляют из себя окружности с центром в начале координат. По окружностям происходит изменение координаты φ. Линии φ=const – это семейства лучей, выходящих из начала координат, по которым происходит изменение координаты r. Координатная сетка в полярных координатах изображена на рис.18.

 


 

Рис.17а Рис.17б Рис.18

Пусть область D расположена между лучами φ=α и φ=β, где α< β, и ограничена линиями  и , где  и любой луч, выходящий из полюса φ=const () пересекает ее границу не более чем в

 двух точках (простая область относительно r) (рис.19).Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле:


 

 Рис.19 Рис.20

   (5)

Пусть область D расположена между окружностями r=а и r=b, где а< b и ограничена линиями  и , где  и любая окружность радиуса r=const () пересекает границу области не более чем в двух точках (правильная относительно φ) (рис.20). В этом случае двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

   6)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена окружностью .

Решение: Как уже говорилось выше, если интегрирование ведется по кругу, то уравнение его границы в полярных координатах имеет вид r=1, а на плоскости Оrφ область Ω является прямоугольником . Осталось записать в полярных координатах подынтегральную функцию: . Вычисляем интеграл


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]