Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции Очень выгодный магазин подушек для беременных Мамин Сон

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой  и прямой х+у=2.

Решение: Чертеж области приведен на рис.27. Найдем абсциссы точек пересечения графиков. Из системы  получаем  и . Тогда масса пластины вычисляется по формуле:

  Рис.27.

Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей

Теперь вычисляем по формулам (12) координаты центра тяжести пластины:

Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного треугольника со сторонами х+у=1, х+2у=2 , у=0, относительно координатных осей.

Решение: Треугольник приведен на рис 28. Моменты инерции относительно осей вычисляем по формулам (13):

  Рис.28

Пример 5. Найти момент инерции однородной области, ограниченной лемнискатой   относительно начала координат.

Решение: Полярный момент инерции вычисляем по формуле (14), при этом в двойном интеграле перейдем к полярным координатам. В результате уравнение лемнискаты в полярных координатах принимает вид , а координата  (рис. 29). Тогда получаем:

 Рис.29.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]