Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 7. Найти предел 

Решение. Поскольку , то  . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то. Окончательно получаем 

Пример 8. Найти предел 

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

  .

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

   поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим  Если  - чётное, , то  Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом   Поскольку  то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим  Заметим, что  при  Поэтому последовательность  убывает при  и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим  и перейдём к пределу в равенстве   

2-й способ. Используя формулу (2), получаем  Отсюда  Поскольку , из последнего неравенства следует, что 

3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство    Следовательно, при

, то есть . Поскольку  то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

 Второй замечательный предел

задаётся формулами ,  , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов 

, где  т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12. Найти предел 

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]