Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 7. Найти предел 

Решение. Поскольку , то  . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то. Окончательно получаем 

Пример 8. Найти предел 

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

  .

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

   поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим  Если  - чётное, , то  Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом   Поскольку  то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим  Заметим, что  при  Поэтому последовательность  убывает при  и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим  и перейдём к пределу в равенстве   

2-й способ. Используя формулу (2), получаем  Отсюда  Поскольку , из последнего неравенства следует, что 

3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство    Следовательно, при

, то есть . Поскольку  то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

 Второй замечательный предел

задаётся формулами ,  , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов 

, где  т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12. Найти предел 

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]