Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Цилиндрическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа (r,φ, z), где z – аппликата точки М, а r и φ – полярные координаты проекции точки М (т.е. точки Mº(х,у,0)) на плоскости Оху. С декартовыми координатами они связаны соотношениями: , где 0£j<2p, 0£r<+¥, -¥<z<+¥. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам (как и к полярным координатам на плоскости) J=r, в чем не трудно убедиться самостоятельно. Из (4) получаем формулу перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

  (19)

Цилиндрические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования содержит следующие поверхности:

а) цилиндр x2+y2=R2, где R- радиус, а уравнение цилиндра принимает вид r=R;

б) конус z2=x2+y², уравнение которого в цилиндрических координатах r=z;

в) параболоид вращения z=x2+у², уравнение которого имеет вид z= r²,

или если подынтегральная функция содержит выражения вида x2+y2=r²

На практике для расстановки пределов интегрирования в тройном интеграле в цилиндрических координатах поступают так же, как и в декартовых координатах. Область G, уравнения границ которой переведены в цилиндрические координаты, проектируется на плоскость Оху в область D, а в области D вводятся полярные координаты.

Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл , где G- объем, ограниченный цилиндром x2+y2=1 и плоскостями x+y+z=2 и z=0.

Решение: В цилиндрических координатах уравнение цилиндра имеет вид r=1, уравнение наклонной плоскости – r(cosφ+sinφ)+z=2, а подынтегральная функция равна r². Область G ограничена снизу координатной плоскостью z=0, а сверху – наклонной плоскостью z=2-(cosφ+sinφ) (рис.37). Проекцией области G на плоскость Оху является круг единичного радиуса, граница которого r=1. Поэтому область D

Рис.37 задается неравенствами   . В итоге получаем:

Пример 2. Вычислить , если область G ограничена плоскостями у=0, z=0, z=a и цилиндром x²+y²=2x.

Решение: Очевидно, что область G – часть цилиндра, лежащего в первом октанте и заключенного между плоскостями z=0 и z=a (рис.38). Его уравнение в цилиндрических координатах имеет вид r=2cosφ, а подынтегральная функция равна zr. Проекцией области G на плоскость Оху является половина круга единичного радиуса с центром на оси Ох в точке (1,0), находящаяся в первой четверти. Уравнение границы круга имеет вид r=2cosφ , а область D задается неравенствами:

 


 Рис.38 Рис.39


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]