Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , где область G ограничена плоскостью у=2 и параболоидом 2у =x²+ z².

Решение: Область G (рис.39) ограничена «справа» плоскостью у=2, а «слева» – поверхностью параболоида 2у =x²+ z², Эта область проектируется в область D плоскости Охz , ограниченную окружностью  x²+ z²=4. Последнее уравнение является линией пересечения плоскости у=2 и параболоида 2у =x²+ z². Введем цилиндрические координаты x=rcosφ, z=rsinφ, y=y и уравнение параболоида принимает вид у=r²/2. Область D  задается неравенствами . С учетом вышесказанного получаем

.

Пример 4: Вычислить интеграл , переходя к цилиндрическим координатам.

Решение: Как указывалось выше, пределы интегрирования в декартовых и цилиндрических координатах расставляются аналогично, поэтому внешние два интеграла определяют двойной интеграл по области D, а внутренний интеграл вычисляется от нижней границы области G (конуса ) до ее верхней границы (плоскости z=1). Переведем уравнения границы области G в цилиндрические координаты, а в области D перейдем к полярным координатам. Из первых двух интегралов определяем, что область D – это половина круга , лежащая в первой и четвертой четвертях, т.к. х меняется от 0 до 1. Поэтому в полярных координатах область D имеет вид: .

Замечание:В более общем случае может быть использована следующая замена:

, здесь a и b – параметры. В этом случае J=abr.

п.2.3. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Точка в трехмерном пространстве описывается тремя координатами (x,y,z) которые являются проекциями точки на оси Oх, Oу и Oz. Используем другой подход. Введем r - расстояние от начала координат до точки, j- угол поворота в плоскости Oxy, y - угол, который отсчитывают от плоскости Oxy. Сферические координаты (r,j,y) связаны с декартовыми координатами соотношениями , где 0£j<2p, -p/2£y£p/2, 0£r<+¥. Якобиан перехода к сферическим координатам равен  (проверить самостоятельно). Тогда справедлива формула замены в тройном интеграле:

   (20)

Сферические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования есть шар или его часть, так как уравнение его границы - сферы x2+y2+z2=R2, где R- радиус сферы, в сферических координатах имеет вид r=R. Удобно также переходить и в случае, если подынтегральная функция содержит выражения вида x2+y2+z2=r².Если область G ограничена эллипсоидом x2/a2+y2/b2+z2/с2=1, то используют обобщенные сферические координаты , где якобиан . В этих координатах уравнение эллипсоида имеет простой вид r=1.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]