Атомная энергетика http://ingraft.ru/
Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , где область G ограничена плоскостью у=2 и параболоидом 2у =x²+ z².

Решение: Область G (рис.39) ограничена «справа» плоскостью у=2, а «слева» – поверхностью параболоида 2у =x²+ z², Эта область проектируется в область D плоскости Охz , ограниченную окружностью  x²+ z²=4. Последнее уравнение является линией пересечения плоскости у=2 и параболоида 2у =x²+ z². Введем цилиндрические координаты x=rcosφ, z=rsinφ, y=y и уравнение параболоида принимает вид у=r²/2. Область D  задается неравенствами . С учетом вышесказанного получаем

.

Пример 4: Вычислить интеграл , переходя к цилиндрическим координатам.

Решение: Как указывалось выше, пределы интегрирования в декартовых и цилиндрических координатах расставляются аналогично, поэтому внешние два интеграла определяют двойной интеграл по области D, а внутренний интеграл вычисляется от нижней границы области G (конуса ) до ее верхней границы (плоскости z=1). Переведем уравнения границы области G в цилиндрические координаты, а в области D перейдем к полярным координатам. Из первых двух интегралов определяем, что область D – это половина круга , лежащая в первой и четвертой четвертях, т.к. х меняется от 0 до 1. Поэтому в полярных координатах область D имеет вид: .

Замечание:В более общем случае может быть использована следующая замена:

, здесь a и b – параметры. В этом случае J=abr.

п.2.3. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Точка в трехмерном пространстве описывается тремя координатами (x,y,z) которые являются проекциями точки на оси Oх, Oу и Oz. Используем другой подход. Введем r - расстояние от начала координат до точки, j- угол поворота в плоскости Oxy, y - угол, который отсчитывают от плоскости Oxy. Сферические координаты (r,j,y) связаны с декартовыми координатами соотношениями , где 0£j<2p, -p/2£y£p/2, 0£r<+¥. Якобиан перехода к сферическим координатам равен  (проверить самостоятельно). Тогда справедлива формула замены в тройном интеграле:

   (20)

Сферические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования есть шар или его часть, так как уравнение его границы - сферы x2+y2+z2=R2, где R- радиус сферы, в сферических координатах имеет вид r=R. Удобно также переходить и в случае, если подынтегральная функция содержит выражения вида x2+y2+z2=r².Если область G ограничена эллипсоидом x2/a2+y2/b2+z2/с2=1, то используют обобщенные сферические координаты , где якобиан . В этих координатах уравнение эллипсоида имеет простой вид r=1.


Атомная энергетика http://ingraft.ru/
Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]