Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 1: Вычислить , где G – шар .

Решение: Границей области G является сфера x2+y2+z2=1, уравнение которой в сферических координатах имеет вид r=1. Так как r – расстояние до начала координат, то для любой точки шара выполняется неравенство . Угол φ вводится в плоскости Oxy так же, как и в полярных координатах. Проекция шара на плоскость Oxy - круг, а для круга . Угол отклонения ψ от плоскости Oxy принимает наибольшее значение  для точек, лежащих на оси Оz при z>0 и наименьшее значение  на оси Oz при z<0. Поэтому для шара всегда . Таким образом, при переходе к сферическим координатам шар G преобразуется в область Ω, которая является прямоугольным параллелепипедом: , , .

Пример 2: Вычислить , где G – часть шара , лежащая в первом октанте (x>0, y>0, z>0).

 


Рис.40

Решение: Область G приведена на рис. 40. Как уже говорилось, для всех точек шара справедливо . Проекцией области G на плоскость Оху является часть круга, лежащего в первой четверти, поэтому . Угол ψ принимает в данной области наименьшее значение ψ=0 для точек координатной плоскости z=0 , а наибольшее значение   для точек на оси Оz при z>0. Расставляем пределы интегрирования:

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , если область G ограничена сферой .

 Рис.41

Решение: Преобразуем уравнение сферы к каноническому виду, выделив полный квадрат по z: . Сфера с центром в точке (0,0,1/2) радиуса 1/2, касается начала координат и расположена выше координатной плоскости z=0 (рис. 41). Ее уравнение в сферических координатах имеет вид r=sinψ, так что для всех внутренних точек выполняется неравенство . Так как проекцией области G на плоскость Оху является круг, то .Угол отклонения ψ  для данной области изменяется в пределах . Расставляем пределы интегрирования:


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]