Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Приложения тройного интеграла.

1. Объем V тела G находится по формуле:

 (21)

2. Масса m тела G с объемной плотностью ρ(х,у,z) вычисляется по формуле:

  (22)

3.Статические моменты  тела G относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны:

  (23)

4. Координаты центра тяжести тела G с массой m определяются по формулам:

5. Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей равны:

  (24)

6. Моменты инерции  относительно координатных осей Ох, Оу, Oz и полярный момент инерции  относительно начала координат равны:

  (25)

Для однородного тела ρ(x,y,z)=const и в некоторых задачах полагают ρ=1.

Пример 1: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом  

Решение: Для вычисления объема в тройном интеграле (21) перейдем к обобщенным сферическим координатам x=acosφcosψ, y=bsinφcosψ, z=csinψ. Уравнение эллипсоида в них принимает вид r=1, а углы φ и ψ изменяются так же, как для шара. Область Ω является прямоугольным параллелепипедом , , :

Пример 2: Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z=3-x²-y² и плоскостью z=0.

 


 Рис.44

Решение: В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей Оxz и Oyz (рис.44) , осталось найти . Вначале вычислим массу m тела. Введем цилиндрические координаты : x=rcosφ, y=rsinφ, z=z и расставим пределы интегрирования в области G:

Вычисляем статический момент :

и находим .

Пример 3: Вычислить момент инерции однородного шара  радиуса 1 относительно его центра.

Решение: Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат, т.е. полярному моменту инерции. При вычислении тройного интеграла переходим к сферическим координатам.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]