Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Приложения тройного интеграла.

1. Объем V тела G находится по формуле:

 (21)

2. Масса m тела G с объемной плотностью ρ(х,у,z) вычисляется по формуле:

  (22)

3.Статические моменты  тела G относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны:

  (23)

4. Координаты центра тяжести тела G с массой m определяются по формулам:

5. Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей равны:

  (24)

6. Моменты инерции  относительно координатных осей Ох, Оу, Oz и полярный момент инерции  относительно начала координат равны:

  (25)

Для однородного тела ρ(x,y,z)=const и в некоторых задачах полагают ρ=1.

Пример 1: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом  

Решение: Для вычисления объема в тройном интеграле (21) перейдем к обобщенным сферическим координатам x=acosφcosψ, y=bsinφcosψ, z=csinψ. Уравнение эллипсоида в них принимает вид r=1, а углы φ и ψ изменяются так же, как для шара. Область Ω является прямоугольным параллелепипедом , , :

Пример 2: Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z=3-x²-y² и плоскостью z=0.

 


 Рис.44

Решение: В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей Оxz и Oyz (рис.44) , осталось найти . Вначале вычислим массу m тела. Введем цилиндрические координаты : x=rcosφ, y=rsinφ, z=z и расставим пределы интегрирования в области G:

Вычисляем статический момент :

и находим .

Пример 3: Вычислить момент инерции однородного шара  радиуса 1 относительно его центра.

Решение: Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат, т.е. полярному моменту инерции. При вычислении тройного интеграла переходим к сферическим координатам.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]