Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл

где  (т.о. Т – часть области, ограниченной эллипсоидом , лежащая в неотрицательном октанте пространства).

РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем

  (*)

Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette. Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithme- tic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат: 1.994.

Задача решена.

Функции нескольких переменных

Рис1Если каждой паре  значений двух переменных  из некоторой области  соответствует одно определенное значение переменной , то говорят, что   – функция двух переменных , определенная в области . Символически функция двух переменных записывается в виде равенства , в котором  обозначает знак соответствия. Геометрически область определения  представляет собой некоторую часть плоскости , ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать области. Для каждой пары  из области определения функции можно построить точку , где . Множество всех таких точек называется графиком функции . Обычно это некоторая поверхность.

Пример. Найти область определения функции .

Рис2Решение. Функция определена в точках плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:  Точки плоскости, для которых  или , образуют границу области определения . Уравнение  задает параболу (поскольку точки параболы не принадлежат области , парабола изображена прерывистой линией). Уравнение   задает прямую. Парабола и прямая пересекаются в точках  и . Область  можно задать системой неравенств:  

Величина  называется функцией переменных , если каждой совокупности  переменных  из некоторой области -мерного пространства соответствует определенное значение , что символически записывается в виде . На функции многих переменных переносятся такие понятия, как предел, непрерывность и т.п.

Функция двух переменных  называется непрерывной в точке , если . Например, функция  непрерывна в любой точке плоскости, за исключением начала координат. Здесь функция терпит бесконечный разрыв.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Рассмотрим функцию , определенную в точке  и некоторой ее окрестности. Если переменной  придать некоторое приращение , а  оставить постоянной, то функция  получит приращение , называемое частным приращением функции   по переменной .

Аналогично,  называют частным приращением функции  по переменной .

Пределы , если они существуют, называются частными производными функции  по переменным   и  соответственно.

Частная производная  вычисляется как производная от функции  по переменной  при условии, что .

Частная производная  вычисляется по  при условии, что .

Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функции любого числа переменных.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]