Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции Штендер рекламный

Решение типового варианта контрольной работы

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

  ,  ,

  , ,

  ,  .

Сравнивая последние два выражения, видим, что .

Прямая называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-нибудь кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проведенная через точку  поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в данной точке   к поверхности имеет вид:

.

Уравнения нормали:

 .

Рис3Пример. В системе координат  построить поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью . При  сечением является окружность  радиуса  с центром в точке ; при  плоскость не пересекает поверхность. Сечение поверхности плоскостью  – парабола . Сечение поверхности плоскостью   – парабола . Рассматриваемая поверхность является параболоидом вращения. Для составления уравнения касательной плоскости и нормали запишем уравнение поверхности в виде: 

Теперь . В точке  имеем: . Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

  или ,

а уравнения нормали:

.

Точка  из области определения   функции  называется точкой максимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности точки  , отличных от .

Точка   из области определения  функции  называется точкой минимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности , отличных от .

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Точки области определения функции , в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками данной функции. Точки экстремума всегда являются критическими, но критическая точка может и не быть точкой экстремума. Для исследования функции в критических точках применяются достаточные условия экстремума, которые мы здесь опускаем.

Экстремум функции , найденный при дополнительном условии , называется условным экстремумом. Геометрически задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремальных точек кривой, по которой поверхность  пересекается с цилиндрической поверхностью  . Если из уравнения   выразить , то задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремума функции одной переменной .

Рис4Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нужно найти все критические точки, лежащие внутри этой области. Затем, исследуя функцию на границе области, найти точки, в которых функция может принимать наименьшее или наибольшее значения (иногда приходится разбивать границу на несколько частей). Вычислив значения функции во всех найденных точках, путем сравнения их между собой, выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области , заданной системой неравенств:  

Решение. Изобразим область  на плоскости . Найдем критические точки из системы уравнений:

Система имеет единственное решение . Точка  лежит внутри области , значение функции в ней . Исследуем функцию на границе области.

На прямой , где , имеем . Вычислим значения функции  на концах отрезка . Найдем критическую точку функции, лежащую внутри отрезка, и значение функции в этой точке: , . Полученные результаты для данной функции  будут такими: , .

На прямой , где , имеем , . , , значение функции в точке  вычислено ранее.

На отрезке  прямой  имеем:

.

, критическая точка , значение функции: . Значения функции в точках  и  вычислены ранее.

Сравнивая все полученные значения функции , заключаем, что в заданной области функция принимает наименьшее значение  в точке . Наибольшее значение  функция принимает в точке .


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]