Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции Штендер рекламный

Решение типового варианта контрольной работы

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

  ,  ,

  , ,

  ,  .

Сравнивая последние два выражения, видим, что .

Прямая называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-нибудь кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проведенная через точку  поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в данной точке   к поверхности имеет вид:

.

Уравнения нормали:

 .

Рис3Пример. В системе координат  построить поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью . При  сечением является окружность  радиуса  с центром в точке ; при  плоскость не пересекает поверхность. Сечение поверхности плоскостью  – парабола . Сечение поверхности плоскостью   – парабола . Рассматриваемая поверхность является параболоидом вращения. Для составления уравнения касательной плоскости и нормали запишем уравнение поверхности в виде: 

Теперь . В точке  имеем: . Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

  или ,

а уравнения нормали:

.

Точка  из области определения   функции  называется точкой максимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности точки  , отличных от .

Точка   из области определения  функции  называется точкой минимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности , отличных от .

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Точки области определения функции , в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками данной функции. Точки экстремума всегда являются критическими, но критическая точка может и не быть точкой экстремума. Для исследования функции в критических точках применяются достаточные условия экстремума, которые мы здесь опускаем.

Экстремум функции , найденный при дополнительном условии , называется условным экстремумом. Геометрически задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремальных точек кривой, по которой поверхность  пересекается с цилиндрической поверхностью  . Если из уравнения   выразить , то задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремума функции одной переменной .

Рис4Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нужно найти все критические точки, лежащие внутри этой области. Затем, исследуя функцию на границе области, найти точки, в которых функция может принимать наименьшее или наибольшее значения (иногда приходится разбивать границу на несколько частей). Вычислив значения функции во всех найденных точках, путем сравнения их между собой, выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области , заданной системой неравенств:  

Решение. Изобразим область  на плоскости . Найдем критические точки из системы уравнений:

Система имеет единственное решение . Точка  лежит внутри области , значение функции в ней . Исследуем функцию на границе области.

На прямой , где , имеем . Вычислим значения функции  на концах отрезка . Найдем критическую точку функции, лежащую внутри отрезка, и значение функции в этой точке: , . Полученные результаты для данной функции  будут такими: , .

На прямой , где , имеем , . , , значение функции в точке  вычислено ранее.

На отрезке  прямой  имеем:

.

, критическая точка , значение функции: . Значения функции в точках  и  вычислены ранее.

Сравнивая все полученные значения функции , заключаем, что в заданной области функция принимает наименьшее значение  в точке . Наибольшее значение  функция принимает в точке .


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]